Serpents in the sand. Appunti-


Serpents in the sand

Due tipi di non linearità: La non linearità nelle società umane può essere di due tipi.
Innanzitutto, la struttura fisica delle organizzazioni sociali può avere caratteristiche non lineari: questa è detta non linearità funzionale. Questa situazione si può avere ad esempio quando le persone interagiscono con gli altri. Semplicemente il parlare e lo scambiarsi informazioni con gli altri costituisce un processo non lineare.
Forme semplici di non linearità possono essere incorporate nei modelli statistici linearizzati attualmente usati, come quando una variabile è multipla di un’altra. Ma i limiti non lineari di questi modelli sono facilmente raggiunti e le strutture più complicate non possono semplicemente essere scritte come una combinazione lineare di inputs. Ci sono innumerevoli vie attraverso le quali le società possono essere strutturate e descritte attraverso un uso non lineare e questo libro è un tentativo per dimostrare alcuni gradi di varietà a tal riguardo.
Il secondo modo in cui può essere la non linearità fa riferimento al tempo e viene detto non linearità longitudinale.
Le cose cambiano in uno dei due modi: possono cambiare crescendo, in tal caso un simile incremento è aggiunto o sottratto alla precedente condizione per ciascun periodo di tempo. Questa potrebbe essere una situazione in cui ad esempio il prezzo del francobollo cresce di qualche centesimo nell’arco di pochi anni. Questo tipo di cambio incrementale è lineare giacché il disegno del valore della variabile dell’interesse generalmente forma una linea.
Comunque cambiamenti non lineari ce ne sono pure.
Il cambiamento si può basare su di una percentuale di un precedente valore di una variabile o forse può essere utilizzato un ruolo più complicato. Un semplice esempio di cambiamento non lineare potrebbe essere l’enorme crescita della popolazione Maltusiana. In questo caso un modello esponenziale è funzionalmente lineare, ma il suo disegno in futuro segue una curva e non una linea. I modelli che sono funzionalmente non lineari, di solito,aumentano la non linearità longitudinale del disegno futuro.

Il mito dell’indipendenza: La nascita di pensieri non lineari sulla vita umana non avverrà in assenza delle nostre precedenti visioni del mondo. Alcune di queste strade di pensiero sono state fondamentali per il pensiero scientifico sociale empirico per molti anni. Probabilmente la maggiore critica di tutte queste idee è l’interrelazione dei concetti di endogeneità ed esogeneità.
Nel tradizionale pensiero sociale e scientifico, una quantità di energia di esogeno causa un risultato di endogeno. Usando un altro linguaggio, una variabile dipendente si trova ad essere una funzione di una collezione di variabili indipendenti. Queste variabili indipendenti (l’input dell’esogeno) non dipendono da loro. Esse già esistono e sono loro a causare le altre. La variabile dipendente (l’endogeno ottenuto) è una combinazione delle influenze di esogeno ed alcuni rumori stocastici.
Da una prospettiva non lineare, comunque,l’esogeneità non può sempre essere un concetto rilevante. È possibile formare una relazione in cui non c’è esogeneità. Invece l’assenza di esogeno è attualmente la norma di modelli non lineari. Quello che prende il posto dell’esogeneità è il sistema di interdipendenza. Il sistema di interdipendenza avverrà quando una variabile è coinvolta nel causare il cambiamento di un’altra, mentre l’altra variabile è similmente coinvolta nel cambiamento causato nella prima. Considerare il modello predatore- preda di Lotka e Volterra.

dR/dt = aR-bRF
dF/dt = -cF+eFR

In questo modello:
R rappresenta la preda (i conigli);
F il predatore (le volpi);
aR esprime la crescita esponenziale nella popolazione dei conigli;
bRF racchiude la perdita della popolazione dei conigli come una funzione dei conigli essendo mangiati quando interagiscono in felicemente con le volpi;
cF esprime le sconfitte della volpe in assenza di conigli mangiati;
eFR rappresenta il guadagno della popolazione delle volpi che si ottiene dalla disponibilità di conigli.

Entrambe le popolazioni sono interdipendenti nel senso che ciascuno causa il cambiamento dell’altra. Questa situazione è tipica dei sistemi interdipendenti non lineari e questo libro contiene esempi di tali sistemi.
Sarebbe sbagliato interpretare i miei commenti qui per suggerire che niente potrebbe essere esogeno. I concetti di esogeneità ed endogeneità sono stati estremamente usati per le indagini scientifiche sociali, e continueranno a giocare un ruolo importante.
Comunque sto sostenendo una visione del cambiamento sociale in cui l’interdipendenza non lineare può essere vista come un significato alternativo di espressione di questo cambiamento. L’argomento non è per una sostituzione di termini, ma per uno spostamento di enfasi, e le ragioni per questo non sono matematiche, ma sociali. Noi viviamo senza società che sono più interattive e compilate con meccanismi. Le società viste in termini di interdipendenza dinamica semplicemente spostano la primaria enfasi in spiegazioni scientifiche dei fenomeni sociali lontane da concetti statici che hanno associazioni correlate e la forma sbagliata. Piuttosto l‘interdipendenza non lineare è un’espansione di quello che noi ora conosciamo. Alcuni fenomeni sociali possono essere adeguatamente rappresentati essendo causate da forze esogene. Anche se le forze esogene sono loro stesse endogena, loro possono sufficientemente essere distanti da quelle che stanno spiegando che la pretesa di esogeneità non causa grandi danni. Ma io argomento qui che l’interdipendenza non lineare è più comune tra una varietà di fenomeni sociali che è tipicamente capita nelle generali scienze sociali, ed uno sguardo in questa direzione è probabilmente risultare in un’espansione sana di pensieri scientifici sociali.

Lo schema del libro: Questo libro contiene 4 esempi ampiamente sviluppati di sistemi interdipendenti non lineari, rilevanti per la scienza sociale.
Il contenuto di ciascun esempio è stato strategicamente scelto per essere abbastanza differente dagli altri esempi. Pertanto, ciascun sistema sarà affrontato separatamente nei capitoli che seguono. Questo libro comincia con una discussione metodologica di un importante aspetto delle dinamiche non lineari. Il secondo capitolo presenta una discussione delle ragioni che portano ad usare nel tempo modelli di processi sociali anziché formulazioni distinte nel tempo quando si lavora con certe situazioni comuni. L’argomento è svolto nel rispetto dei dati ottenuti da molti casi ed in poco tempo. Esempi di queste situazioni dovrebbero essere aggregati in un paese per due elezioni, o osservati gli individui prima e dopo un’elezione. Se o se non si usa un modello continuo nel tempo si torna definitivamente alla questione del sé il processo sociale essendo modellato è lineare o non lineare. In generale, i modelli non lineari sono molto più sensibili alla specificazione longitudinale del tempo rispetto ai modelli lineari.
Uno dei principali propositi di questo libro è dimostrare quanto sia possibile ottenere dalle prospettive dinamiche dei sistemi non lineari delle interdipendenze della vita sociale umana. Il punto principale è che noi viviamo in un universo non lineare e gli uomini non sono eccezioni lineari alla norma della non linearità. Questo libro serve ad un intellettuale a notare che possiamo stimolare ulteriormente il pensiero …………
I fenomeni sociali sono come serpenti. Di loro non è tutto lineare, soprattutto se si fa riferimento ai loro movimenti nel tempo. I fenomeni sociali non seguono un’unica dritta via, ma “serpeggiano” tra le varietà dello sviluppo della cultura umana più ampia. Tale cultura non è fissa, è come la sabbia: i segni che sono lasciati su di essa dai fenomeni sociali si fondono velocemente nell’evoluzione storica di questa cultura, mescolando con i precedenti segni di tutti gli altri fenomeni, finché è difficile dire che qualche segno è diverso da tutti gli altri. Noi viviamo in un universo umano di movimento e cambiamento. Quello che sembra fisso può essere solo il fantasma di una prospettiva statica che ignora l’evoluzione continua delle relazioni umane. L’asserzione fondamentale di questo libro è che la maggior parte delle nostre esperienze sono quelle di cambiamento: le nostre vite si sviluppano come movimenti di serpenti, serpenti nella sabbia.

SECONDO CAPITOLO

La struttura del tempo non lineare:
Le scienze sociali sono attualmente sulla soglia di una nuova era nei modelli matematici, e le analisi dei dati usano di continuo sistemi dinamici non lineari. Alcuni di tali modelli, come quello del caos e quello della catastrofe sono stati recentemente divulgati nella letteratura matematica e scientifica. Inoltre, ci sono stati alcuni affascinanti tentativi, sforzi di sviluppare metodi esplorativi dell’analisi dei dati per identificare situazioni in cui tali modelli possono essere utili negli ambienti scientifici sociali. Il progresso è stato anche fatto per sviluppare e stimare di continuo sistemi dinamici non lineari.
Gli scienziati sociali tipicamente incontrano serie di dati molto brevi. Queste serie spesso sono così brevi (di due o tre punti) che non fanno sempre pensare a serie temporali. Vengono chiamati studi panel, o pre-elezioni o post-elezioni survey, o dati aggregati per due o più elezioni. Ma essi in realtà sono serie temporali, e la tecnologia dei sistemi dinamici non lineari è ora sufficientemente avanzata cosicché possiamo cominciare a mettere dati in vie che potremo altrimenti aver pensato che sono limitate alle scienze naturali, o alla fine relativamente a rare situazioni con molte osservazioni prese oltre un esteso periodo di tempo. La chiave per sviluppare modelli di sistemi non lineari per questi dati per serie estremamente brevi, è utilizzare l’informazione che è contenuta nelle variazioni tra i vari tanti casi. La letteratura dei sistemi dinamici è generalmente orientata a spiegare caratteristiche longitudinali di un singolo oggetto. L’oggetto può essere un pendolo, un razzo, una nazione, od anche un pianeta. A ciascuno oggetto è associato un numero di variabili. Per esempio il sistema dinamico di un pendolo può avere una velocità angolare, una fase di movimenti, ed altre variabili. Un razzo può accelerare, resistere all’aria. Una nazione può avere spese sociali e spese per la difesa.
Il problema critico diventa ottenere un numero sufficiente di osservazioni messe in ordine nel tempo per specificare il modello e la sua struttura dinamica di lungo termine. Così, sulla superficie sembra che una data situazione di molti casi attraverso due( o meno) punti temporali è incompatibilmente diversa da una situazione di un caso con una lunga storia osservabile. Il problema sembra essere il bisogno di avere una registrazione di dati sufficientemente lunga per permettere di determinare una struttura dinamica fissa. Ancora, le stesse strutture dinamiche, almeno in teoria, dovrebbero operare con molti casi. Il fatto che il numero delle osservazioni nel tempo sono poche, non dovrebbero scoraggiarci dal percepire che una tale struttura dinamica possa lasciare nascosta quei pochi punti temporali. Nelle scienze sociali, l’usuale approccio di tali date situazioni è assumere un modello di regressione statistico.
Un modello richiede una variabile dipendente che può essere scritta come uno stato costante o come una differenza tra due stati fissi. Se uno ha dati elettorali aggregati per 3000 contee negli Stati Uniti per due elezioni, uno può ottenere la differenza in un voto del partito tra quelle due elezioni come una variabile dipendente.
Due forme funzionali sono le più comuni, così come specificato nelle equazioni 2.1 e 2.2

∆yt = F[yt, xl, x2,….,x(n)] 2.1

yt+1 = G[yt, x1, x2,….,x(n)] 2.2

IL TEMPO CONTINUO CON IL MODELLO LINEARE

L’equazione 2.1 potrebbe essere facilmente riscritta come un modello di tempo continuo.In questo caso, la variabile dipendente non sarebbe più (yt, ma piuttosto la derivata che descrive il cambiamento in y nel tempo dy/dt.
Per il momento possiamo considerare funzionalmente il caso di un modello lineare usando il tempo continuo, come dato nell’equazione 2.3. Inoltre compareremo l’equazione 2.3 con la sua equivalente discreta , equazione 2.4.
Dy/dt= ay+ b
(yt= fyi+g

Entrambe le equazioni 2.3 e 2.4 sono funzionalmente lineari e identiche nella loro struttura algebrica. La sola differenza tra le due equazioni è riguardo alla misura del tempo. Comunque per utilizzare l’equazione 2.3 in senso pratico, è necessario ottenere una specifica stima di y per un punto dato o un tempo.
Diciamo che abbiamo due osservazioni di y.
La prima osservazione possiamo chiamarla stima iniziale, mentre la seconda possiamo identificarla come punto finale. Con il modello del tempo continuo, abbiamo bisogno di usare il modello che predice il punto finale data la condizione iniziale.
E’ possibile risolvere y nell’equazione 2.3, ottenendo perciò una equazione di y come uno stato costante che potrebbe essere usato come una variabile dipendente nel modello di regressione.
Comunque non è sempre possibile con i modelli lineari.
La situazione diviene grandemente intrattabile matematicamente con i sistemi di equazione non lineari. In questo modo, vogliamo risolvere per y nel modo più generale possibile, un modo adopereremo per i modelli e sistemi non lineari.
Un modo, probabilmente il metodo più facile e più pratico è utilizzare il fourth-order Runge-Kutta technique of definite integration.
Questa tecnica non è spesso usata nelle scienze sociali è lo standard “cavallo da lavoro” nelle analisi numeriche nelle scienze naturali.
E’ importante notare che nessuno dei risultati in questo capitolo dipendono dall’uso dell’algoritmo Runge-Kutta. Gli altri algoritmi per l’uso nelle integrazioni definite sono comunque largamente usati tra tutti i metodi. E’ importante per il lettore tenere in mente dall’inizio alla fine questa discussione siamo interessati al cambiamento del modello tra i punti di tempo.
Ma il metodo Runge-Kutta ci permette di usare un modello di tempo continuo per tracciare una traiettoria da un’osservazione a un’altra come se vi fosse un flusso omogeneo di osservazioni tra le osservazioni iniziali e quelle finali.
Questo è un aspetto estremamente desiderato dei modelli del tempo continuo poiché se sappiamo fare questo con un buon grado di confidenza, noi possiamo riprodurre un cambiamento storico inosservato attraverso i punti del tempo.
Ancor di più queste traiettorie possono essere estremamente non lineari senza tener conto della natura lineare o non lineare della forma funzionale del modello. Questo tipo di non linearità è chiamata non linearità longitudinale.
L’abilità di riprodurre longitudinalmente le traiettorie non lineari attraverso i punti del tempo osservati è uno dei pochi vantaggi dei modelli lineari del tempo continuo oltre al tempo discreto dei modelli lineari. Questo può essere visto con una comparazione diretta tra l’equazione 2.3 2.4.
La tabella 2.1 presenta una comparazione tra l’equazione 2.3 e 2.4 con dati costruiti usando euristicamente i parametri scelti per il modello del tempo continuo.
I parametri per l’equazione differenziale sono stimati dai dati iniziali e finali presentati nella tabella.
Di conseguenza i valori iniziali e i punti differenziali finali sono usati per calcolare (yt.
Questa differenza è allora utilizzata in un modello di regressione per ottenere i valori dei parametri f e g.
I punti finali differenziati nella tabella 2.1 sono ottenuti dall’equazione differenziale dopo che le stime sono completate.
Nella tabella 2.1 si nota che il modello lineare discreto può produrre esattamente i dati finali che sono stati creati attraverso il modello di equazione differenziale.
Inoltre la misura dell’equazione differenziale è l’unità e i parametri f e g hanno segno corretto come comparato con i loro equivalenti paralleli di tempo continuo.
Inoltre si noti che la relativa grandezza dei parametri a e b è esattamente la stessa della grandezza relativa dei parametri f e g (una grandezza è il doppio delle altre).
In questo modo se qualcuno volessse4 dedurre delle conclusioni effettive da questi modelli perderebbe poco utilizzando la versione del tempo continuo. Ciò che andrebbe perso sarebbe la non linearità della storia attraverso i due punti del tempo. Questo può facilmente essere visto nella figura 2.1.
Nella figura 2.1, le traiettorie del tempo continuo per l’equazione 2.3 sono calcolate usando i valori del parametro presentati nella tabella 2.1 e l’algoritmo Runge-Kutta con 10 ripetizioni e un salto di 0.1.
Si noti che il movimento tra i valori iniziali di y e i valori finali di y non seguono una linea retta.
In alcune ricerche, questa ricostruzione storica potrebbe essere importante, nel caso in cui, il modello del tempo continuo ha un netto vantaggio sul modello del tempo discreto.
Comunque se siamo interessati solamente a spiegare il cambiamento totale in y, allora non c’è pregiudizio nell’usare il modello del tempo discreto, assumendo che l’attuale processo sociale esaminato è funzionalmente lineare.
Le ragioni di questa conformità tra i modelli lineari continui e discreti possono essere estratti dalle soluzioni per le equazioni 2.3 e 2.4. Le soluzioni per ciascuno di questi modelli sono stati dati dalle equazioni 2.5 e 2.6, dove l’equazione 2.5 rappresenta la soluzione del modello del tempo continuo e l’equazione 2.6 rappresenta la soluzione del modello del tempo discreto. In ciascuna soluzione y rappresenta il valore d’equilibrio per il modello. Questo valore è lo stesso per entrambe i modelli dati poiché vorremmo scegliere i valori del parametro che individueranno i punti fanali che combaceranno esattamente ad appunti nel tempo.
I valori iniziali di y sono rappresentati da y0 in entrambe le equazioni.
(2.5)
(2.6)

L’errore tra il modello continuo e quello discreto è la differenza tra queste due soluzioni.
Sottraendo l’equazione 2.6 dall’equazione 2.5 e poi semplificando (notando che t=1 al punto finale) produce l’espressione (vedi espressione pag18).Questa espressione equivale a zero
Così questa condizione è completamente indipendente dalle condizioni iniziali di y.
Dato che ea è una costante la regressione non ha difficoltà nel determinare un valore per il parametro f che soddisfa esattamente questa condizione, a causa di ciò massimizzando la misura del modello dell’unità. Questa algebra fortunata è in generale, assente dai casi di modelli non lineari funzionalmente come spiegato sotto.

TEMPO CONTINUO CON MODELLO NON LINEARE

L’incompatibilità tra i modelli non lineari di tempo continuo e discreto è meglio spiegato attraverso un esempio. Pertanto il più semplice e meglio conosciuto modello non lineare è l’equazione logistica. Le rappresentazioni del tempo continuo e discreto dell’equazione logistica sono dati rispettivamente dalle equazioni 2.7 e 2.8 .
La tabella 2.2 contiene una comparazione tra l’equazione 2.7 e 2.8 usando i valori dei parametri scelti euristicamente per il modello del tempo continuo. I valori del parametro per il modello del tempo discreto sono stimati con una regressione usando come dati i valori iniziali di y o i valori finali di y che sono ottenuti dall’equazione differenziale estendendo l’equazione differenziale con un fourth-order Runge-Kutta così come è stato fatto con i modelli lineari presentati nella tabella 2.1.
Ai fini del paragone la tabella 2.2 presenta inoltre i valori del parametro stimati in relazione al modello di tempo discreto, un modello logistico con una intercetta, la quale è spiegata ampiamente nella seguente comparazione delle equazioni 2.7 e 2.8.
Dalla tabella 2.2 è chiaro che le equazioni 2.7 e 2.8 non producono una perfetta uguaglianza che si può vedere nella tabella 2.1 con uno sguardo ai modelli lineari. Con i modelli non lineari i punti finali non sono affatto gli stessi. In questo modo, mentre i valori dei parametri hanno tutti segno corretto, la loro relativa grandezza non corrisponde esattamente alla equazione del tempo.
Il valore del parametro b è due volte il valore del parametro a, ma il valore del parametro g non è due volte il valore del parametro f. I valori D’equilibrio di entrambi i modelli non sono gli stessi.
Infine R2 per il modello discreto è solamente 0.82. Chiaramente qualcosa non funziona nello stesso modo in cui ha funzionato nel modello lineare.
La situazione è chiarita dall’analisi della figura 2.2. La figura 2.2 presenta 10 traiettorie del modello logistico a tempo continuo nel periodo di tempo da 0 a 1. Diversamente dalle traiettorie del modello lineare presentato nella figura 2.1, le approssimazioni al valore d’equilibrio di 0.5 usato nel modello logistico non sono proporzionalmente simmetriche in relazione a entrambi i valori iniziali che sono al di sopra o al di sotto dell’equilibrio.
Intuitivamente, sarebbe evidente che un modello che si estende in una sola iterazione attraverso due punti del tempo molto distanziati, come nel caso del modello dell’equazione differenziale, generalmente non può arrivare allo stesso punto finale come un modello che è dato dalla flessibilità del movimento non lineare continuo nel tempo.
Con il modello del tempo discreto, le stime del cambiamento sono dettate dai valori iniziali di y, poiché con il modello del tempo continuo le stime del cambiamento variano continuamente.
La stima del cambiamento fissata non può produrre lo stesso risultato di una stima di cambiamento variabile oltre lo stesso periodo di tempo data la mancanza della simmetria topografica che è inerente alle traiettorie del comportamento non lineare.
Le strutture dell’errore tra i modelli del tempo continuo e discreto può essere visto chiaramente nella figura 2.4.
Nella figura 2.3 i valori finali di y sono segnati sui valori iniziali di y tra l’equazione 2.7 e 2.8.
Si noti nella figura che il punto finale dell’equazione differenziale converge rapidamente al valore d’equilibrio di 0.5 come la condizione iniziale aumenta.
Comunque i punti finali dell’equazione differenziale rivela una distribuzione parabolica che risulta dalla natura quadratica dell’equazione logistica in combinazione con l’inflessibilità dell’uso di questa equazione attraverso una sola iterazione.
Il modello dell’equazione differenziale che fa il meglio che può fare date le sue limitazioni, ma il meglio che può fare non può superare il problema imposto dalla sua rigidità in relazione al tempo.
E’ essenziale per leggere le note, che la corrente discussione sia riferita solo alla situazione nella quale ci siamo solo due fasi temporali e nella quale ci sia la scelta di usare o un equazione differente o un equazione differente di un modello diverso tra quelli delle due fasi temporali. L’argomento qui non ha niente a che fare con l’uso di un particolare algoritmo numerico così come un quarto-ordine Runge-Kutta. La Runge-Kutta è usato soltanto qui per convenienza a tracciare fuori una traiettoria fra due punti. Nell’esempio sopra si usa per creare una longitudine di dati non lineari determinati per conoscere i valori dei parametri per una funzione continua nel tempo. Questi dati potevano venire da qualunque altra fonte (incluso angelico) senza perdere l’argomento. Non sto dicendo che i Runge-Kutte sono intrinsecamente diversi dalle equazioni differenti. Gli algoritmi Runge-Kutte sono effettivamente equazioni differenziali con una variabile step size, mentre tradizionalmente le equazioni differenziate lavorano solo sui numeri interi di tempo. Ma precisamente a causa della variabile step size, si può usare questa tecnica per tracciare fuori la traiettoria della longitudine non lineare di un modello a tempo continuo. Questo è convincente nel mio argomento, non un punto centrale.
I punti che sono trattati qui, comunque hanno a che fare con la specificazione longitudinale del modello. Differenziando solamente tra due spazi temporali perde tutte le variazioni longitudinali non-lineari. Se il processo sociale è uno continuo non lineare a breve termine, usando un modello non lineare su un intervallo estesamente spaziato, come è fatto differenziando una variabile dipendente e che la tecnica di regressione trovi la stima, può condurre a una seria misurazione del processo dinamico.
Così quando compaiono i valori differenziali e risultati differenziati presenti nella tab. 2.2 e nella figura 2.3 è forse euristicamente utile ignorare il particolare modo di dire dal quale le differenze del punto finale sono calcolati così come non pensare di confondere che i risultati sono prodotti da differenze tra i due algoritmi. Considerate i dati nel tempo continuo soltanto misurazioni accurate di una traiettoria originata da un processo non lineare circa che è conosciuta una specificazione totalmente accurata. Poi fare la comparazione con questi dati e quelli creati usando le stime di equazioni differenti. Il punto è che il reale punto finale (venendo dal processo di tempo continuo) non poteva essere ricavato dalla non linearità ma da un modello differente. Ancora nelle scienze sociali è precisamente quello che accade così spesso. Un processo non lineare continuo nel tempo è misurato da due intervalli estremamente spaziati, le variabili misurate sono differenti e il modello è valutato!
La base del problema tra il continuo e il modello non lineare di tempo discreto può ora essere compreso. Con riferimento al modello non lineare di tempo continuo ci sono due tipi di lavori non lineari. Il primo è una funzione non lineare la quale è costituita da una struttura algebrica del modello (e.g. il caso logistico, la moltiplicazione di y tempo y). Ma il secondo è una longitudine non lineare. Di nuovo la non-linearità longitudinale si riferisce al movimento non lineare di una traiettoria sul tempo e anche la dinamica del modello lineare può comportarsi come non lineare in questo caso come si è visto nella figura 2.1 (si vedi anche Brown 1991, 29-32). Con il modello non lineare di tempo continuo entrambe le forme di interazione non lineari producono la traiettoria. Ma nel modello di tempo discreto i dati sono solo un’interazione (ci sono da allora solamente due fasi temporali nel setting di ricerca sotto discussione) e così la loro abilità produce longitudini non lineari che sono inesistenti. Effettivamente tutti i modelli di tempo discreto possono produrre solo una linea diritta tra due fasi temporali. La prima forme di non linearità (funzione non-lineare) con un modello di tempo discreto è usato a riprodurre quello che è stato creato da un processo di tempo continuo che viene impiegato in due tipi di non linearità (funzionale e longitudinale). Se il processo sociale che si sta esaminando ha una natura di tempo continuo – e può essere provato che più processi sociali lo siano – poi il modello di tempo discreto su due fasi temporali suggerirà probabilmente anche un basso adattamento e un serio parametro incorretto stimato, nonostante il fatto che la funzione algebrica del modello può essere completamente corretta!
Comunque il problema può essere peggiore di quello che sembra. E’ pratica comune nelle maggiori analisi statistiche scientifiche assumere un termine segmento (intercept) nel modello. Tipicamente l’inclusione di un segmento sarebbe relativamente la questione minore di una specificazione del modello. Qui è usato come esempio di come una piccola variazione nel specificare il modello può produrre dei veri risultanti fuorvianti quando un modello non lineare di tempo discreto è usato per valutare un processo sociale di tempo continuo.
In fondo alla tab. 2.2 i parametri stimati sono presenti per una logica equazione differente che include un termine segmento. Le osservazioni seguenti dei risultati sono particolarmente rilevanti. L’importanza del termine segmento è piuttosto grande. Il segnale della stima per il parametro f è incorretto. Ma l’adattamento del modello è vicino all’unità e il valore d’equilibrio per il modello è quasi 0,5!
Questi risultati sono sviluppati ulteriormente con un esame della figura 2.4. La figura 2.4 presenta varie traiettorie (corrispondono a condizioni iniziali differenti) per la differenza logistica con un segmento. Notare come le traiettorie nella figura 2.4 rapidamente convergono in una interazione di valori che sono distribuiti similmente circa il valore d’equilibrio come comparato con il punto finale del modello di tempo continuo usato per creare la traiettoria presente nella figura 2.2. Inoltre, la traiettoria continua converge al valore d’equilibrio seguendo le prima interazione dell’equazione differente.
Da un punto di vista di modellistica la situazione descritta qui è completamente inappropriata. Se si sta usando un modello non lineare di tempo discreto per valutare un processo non lineare di tempo continuo, un errore di specificazioni minore – con l’inclusione di un termine segmento quando infatti il processo sociale non ne riflette uno – può condurre al risultato che sembri molto forse da una prospettiva statistica. Ancora i risultati potrebbero essere più fuorvianti e totalmente incorretti nella peggiore delle ipotesi. Un problema, funzionalmente mal specificato, può interagire con un altro problema, longitudinalmente mal specificato, confonde l’evidenza statistica di ambo gli errori.
La sola soluzione a questo dilemma è ritornare al modello non lineare di tempo continuo quando modellando un processo sociale che evolve in una maniera più continua. La questione diviene ora come impegnare i meccanismi di stima di tempo continuo, data la mancanza di un tempo discreto alternativo. Una veduta dell’insieme di questo è inclusa nell’appendice di questa discussione.
In generale, questa questione ha il suo centro di specificazione longitudinali sul tipo di processo sociale cominciato a modellare. Se un ricercatore è certo che il processo sociale è dinamicamente lineare, che nessun grande errore è stato fatto nel misurare il mutamento della variabile dipendente come una differenza discreta e usando poi la formula della regressione multipla nel fare la stima del parametro. Ma uno deve fare questa supposizione di linearità per procedere con fiducia. Dall’altra parte, forse è più tipico non sapere questo in anticipo da impegnare in un analisi dei dati. Perciò uno può trovarsi su di un terreno più sicuro senza assumere la linearità, e accettare con questo la libertà di lavorare con la formula della funzione non lineare, così come la possibilità di scoprire sorprese – e forse la bellezza – nelle diverse descrizione dei mutamenti longitudinali sociali non lineari.

SISTEMA DINAMICO NON LINEARE

Tralasciamo la familiarità del differenziale e della regressione che dà un beneficio aggiuntivo. Non c’è alcun bisogno di lavorare solo con i modelli a tempo continuo delle equazioni semplici ancor più che c’è bisogno di essere limitati alle approssimazioni lineari dei processi non lineari. I metodi numerici usati per i modelli di equazioni singole sono identici a quelli usati per i sistemi di equazioni. Quindi noi possiamo parlare delle evoluzioni non lineari dei sistemi sociali così facilmente come possiamo parlare dei cambiamenti longitudinali in una variabile.
A un livello, lavorare con i sistemi non lineari è più facile che lavorare con alcuni modelli di regressione lineare. Una esigenza di cui non ci si deve preoccupare mai è quella circa le trasformazioni delle complicate forme funzionali in versioni algebriche che possono adattarsi dentro un modello esistente che viene “inscatolato” in un software statistico. Accanto a tutti i sistemi numerici che sono usati per i sistemi a tempo continuo richiediamo solo che il modello venga scritto come una derivata. L’integrazione indefinita non è necessaria. Le trasformazioni sono più che mai necessarie. Più importante, le distorsioni della scaduta teoria sociale i requisiti algebrici dei modelli statistici sono totalmente non necessari. Quindi, qualcuno è naturalmente incoraggiato ad essere intellettualmente creativo quando usa i sistemi non lineari a tempo continuo.
Ma da questo incoraggiamento deriva un pericolo. Sin da quando il punto di vista non lineare del mondo appare molto differente dal punto di vista lineare da una prospettiva algebrica, la familiarità con i modelli lineari non deve influenzare il giudizio di qualcuno della struttura algebrica non lineare. Il problema è specialmente acuto con riguardo al modo in cui la generalità dei sistemi non lineari è percepita in situazioni di asimmetria algebrica attraverso le equazioni. Alcuni sistemi potrebbero in un primo momento apparire ad hoc, quando nei fatti essi possono essere teoreticamente ricchi e completamente generali.
I sistemi simmetrici non lineari sono quelli in cui ogni equazione nel sistema ha una struttura algebrica parallela. Questa è spesso la situazione usata per modellare la competizione, tra le parti politiche. Ad esempio potrebbe essere supposto che ambo le parti sono in competizione per le stesse risorse (votanti) allo stesso modo quindi l’algebra descrivendo il cambiamento in ogni sostegno della parte potrebbe essere identica nella struttura. In termini pratici, possiamo costruire un modello di competizione che ha una struttura logica nei tassi di crescita per ogni parte, combinata con le perdite per ogni parte che sono dovute alle interazioni proporzionali con l’altra parte. Queste caratteristiche sono simili ad alcuni modelli di competizione tra le specie che sono descritte in una estesa letteratura sulla biologia delle popolazioni (guarda May 1974). Quindi, possiamo descrivere il cambiamento nel sostegno per ogni parte come nelle equazioni 2.9 e 2.10:

dx/dt = ax(Lx – x) – bxy (2.9)
dy/dt = cy(Ly – y) – exy (2.10)

nelle equazioni 2.9 e 2.10, i limiti di crescita per le parti x e y rispettivamente sono Lx ed Ly. I parametri a e c i parametri del tasso di crescita logistica, mentre i parametri b ed e definiscono le perdite per ogni parte dovuta alla interazione competitiva proporzionale con l’altra parte. È da notare che ogni equazione ha una struttura algebrica esattamente parallela. Alcune volte un sistema come questo appare più generale di un sistema asimmetrico (descritto sotto) da quando il sistema simmetrico non contiene disegualmente le interazioni e gli scambi nella popolazione tra un gruppo e l’altro gruppo.
Comunque, è probabile che alcuni sistemi sociali non mostreranno un parallelismo algebrico tra le equazioni. Alcuni sistemi sono asimmetrici nel senso che il cambiamento in una delle variabili non è strutturato similarmente in uno o più delle altre variabili. Le familiari equazioni predatore-preda di Lotka-Volterra hanno sistemi simili, come presentato precedentemente nelle equazioni 1.1 e 1.2.
Il sistema presentato nelle equazioni 1.1e1.2 chiaramente ha una struttura algebrica asimmetrica nelle equazioni. In superficie, il sistema predatore-preda potrebbe sembrare più ad hoc dovuto a questa asimmetria. Ma questo non è il caso. La ricchezza algebrica legata alle proprietà del modello simmetrico o asimmetrico non ha alcuna implicazione per le generalità o le valutazioni teoretiche dello specifico modello. Davvero, la necessità della asimmetria è dettata dalla struttura fisica dei fenomeni naturali. Inoltre, l’approccio alla generalità è meglio visto dalla prospettiva del comportamento complessivo del modello. Questo comportamento complessivo dinamico è probabile sia categorizzabile da un largo raggio d’azione della geometria comportamentale (guarda Abrahame Shaw 1992). Il contributo delle caratteristiche simmetriche dell’algebra del sistema al comportamento complessivo è generalizzabile da questo schema di categorizzazione (guarda specialmente Hirsh e Smale 1974, 258-75).
La “linea di fondo” è che il sistema non lineare può essere sia simmetrico che asimmetrico con riguardo al parallelismo algebrico e tuttavia essere completamente generale dalla prospettiva del comportamento sistemico. Il valore sia della non linearità longitudinale che funzionale si trova nella sua abilità a descrivere più accuratamente la complessità delle relazioni tra le variabili.
È probabilmente non giusta la buona fortuna che questa complessità sembra avere, più spesso che non avere esteticamente qualità piacevoli come è bene, specialmente quando i comportamenti dei sistemi sono descritti graficamente. Più probabile, questo è a causa della bellezza naturale del mondo fenomenico è una conseguenza delle caratteristiche strutturali che le spiegazioni non lineari tentano di identificare.
Portato un passo avanti, questo suggerisce che potrebbe occasionalmente essere utile per vedere una teoria scientifica sociale non solo con il rispetto della precisione della sua descrizione delle relazione tra le variabili, ma anche con il rispetto verso la grandezza della bellezza che è catturata in quella descrizione. Davvero, è interessante che tale bellezza nelle relazioni comportamentali non lineari tra le persone potrebbe essere facilmente percepita nei significati matematici – e quindi grafici. Potrebbe all’inizio sembrare bizzarro per gli scienziati sociali vestire l’abito dell’artista.
Ma la bellezza che esiste in natura, benché non abbiamo testi statistici per ciò e le sue valutazioni sono fondamentalmente soggettive. Il punto qui è che la non linearità offre un modo per identificare alcune delle realtà importanti delle relazioni umane, e noi non dovremmo essere accecati dalla possibilità che la descrizione della bellezza potrebbe essere catturata nella descrizione non lineare nei modi che un’approssimazione lineare non potrebbe mai pareggiare.

ALCUNE IMPLICAZIONI

Forse la più grande implicazione nell’uso dei sistemi nonlineari nelle scienze sociali è che le divisioni metodologiche tra le scienze naturali e sociali sono fortemente diminuite. Dopo aver rivisto virtualmente tutti gli approcci statistici comunemente utilizzati per modellare e datare le analisi nelle scienze sociali e paragonandoli agli approcci comuni per parlare di popolazione, biologia, fisica, astronomia, e chimica, potrebbe naturalmente meravigliarci perché gli esseri umani sono le sole creature nell’universo conosciuto che si comporta linearmente. In realtà, gli esseri umani probabilmente si comportano in modo non più lineare che l’orbita dei pianeti, e l’uso dei sistemi non lineari per modellare il cambiamento sociale ci permette di esaminare questa proposizione direttamente.
Termino questa discussione con una nota evangelica. Se qualcuno prende le implicazioni della esigenza per proseguire con serietà i sistemi non lineari a tempo continuo, qui esiste una grandissima apertura ai nuovi orizzonti intellettuali per gli scienziati sociali. Questo va oltre il ritornare a precedenti studi e il ritornare a lavorare con metodi nella speranza di cambiare i risultati. Piuttosto, le tecniche stesse incoraggiano gli scienziati sociali a cercare per fissare le strutture dinamiche nelle nostre società. Ciò perfino lascia la porta aperta alla scoperta dei principi- analogia alle leggi- della attività umana, una rete che è spesso sfuggita di mente agli scienziati.
Più specificamente, l’uso dei sistemi non lineari aprono la porta al pensare agli umani come esseri sociali piuttosto che semplicemente (o alla fine in modo predominante) come isolati, atomizzati, razzionalizzatori, o individui guidati psicologicamente. Per esempio, quando gli scienziati sociali abbracciano i benefici delle ricerche sociali con campioni probabilmente nazionali, ciò non era senza costi. Le ricerche tipicamente estraggono gli intervistati dal loro ambiente sociale e fanno loro domande sulle loro idee e sentimenti. Ciò non è una meraviglia perché teorie psicologiche e razionali sono così comuni nelle scienze sociali, data la natura di ogni metodo che è tipicamente usato per esaminare le questioni sociali. Interrogando gli individui sulle cose nella loro mente conduce a delle teorie guidate dalle menti degli individui.
Le ricerche future nelle scienze sociali avranno da connettere le nostre conoscenze degli individui con le conoscenze olistiche delle nostre società. Proprio come studiare un’onda nell’oceano è incompleto (dato che tutte le onde colpiscono tutte le altre onde), lo studio sugli individui che si estrae dal comportamento e dai feedbacks a tempo continuo della esistenza sociale è allo stesso modo incompleto.
Se questo insolente argomento è accettato, il tema del determinismo sociale semplicemente potrà essere accresciuto. Sottolineando questa prospettiva nella metodologia resta il tema dell’esistenza umana come fondamentalmente interconnessa ad una scala evoluzionaria internamente ( tra la comunità degli umani) così bene come esternamente, così come il nostro ambiente e pianeta. Il futuro potrebbe trovare le attività umane meno chiuse alla prospettiva probabilistica definita individualmente delle scelte basate sui ruoli del prendere le decisioni e una collezione delle attitudini certe, e più chiusa alla conseguenza non lineare e ai feedbacks estremamente interattivi degli stimoli definiti collettivamente. Non è che la razionalità, la psicologia e gli altri concetti sull’individuo non giocheranno un ruolo più a lungo nelle teorie sociali del futuro. Gli umani fanno calcoli ed hanno attitudini. È esattamente che i paradigmi futuri potrebbero riconoscere più chiaramente le costrizioni umane che limitano in termini reali il raggio d’azione dell’attività individuale, intellettuale o altro. Questo implica che potremmo essere capaci a costruire ampie generalizzazioni della struttura ed evoluzione delle nostre comunità presenti e passate in una scala che non era possibile prima.
Quindi, la soglia che ho accennato all’inizio di questo trattato, non si riferisce all’uso di alcuni nuovi trucchi matematici. Si riferisce al modo in cui noi concepiamo l’esistenza umana. Suggerisco che i nuovi metodi permetteranno una migliore flessibilità nei nostri pensieri su ciò che significa essere umani. In questo senso, gli scienziati sociali potrebbero essere al margine del futuro, così emozionante come ciò che aveva riferito Robert May per le popolazioni biologiche quando sottolineò il suo ora classico punto di vista della struttura ecologica e della nicchia sovrapposta. Questa non è una predizione, ma una speculazione, in ogni modo insolente. Ma io sospetto che potrebbe essere vera.

APPENDICE AL CAPITOLO 2

Ritorniamo ora alla esposizione iniziale del problema. Gli scienziati sociali tipicamente si imbattono in situazioni di fatti in cui ci sono alcuni casi solo due (o pochi) fasi temporali. Questa discussione mostra la possibilità di usare i modelli di tempo continuo non lineare per colmare il gap tra le due fasi temporali. Quali necessità (a parte il modello non lineare) sono parametri stimati.
La stima mostra i dettagli dei modelli non lineari delle tipologie discusse lì (incluso lo scritto del programma da lavoro per il computer che è incluso nell’appendice di questo volume) è stato discusso ampiamente altrove (guarda Brown 1991, 203-15; 1995). È di uso enfatizzare il profilo generale della procedura lì.
Brevemente stimare i modelli non lineari a tempo continuo con alcuni casi ma in poche fasi temporali, qualcuno ha bisogno di usare la tecnica di Runge-Kutta per creare la traiettoria dai valori iniziali dei dati (per ogni caso) ai valori finali. Dato che ci sono molti casi, questo richiede l’uso di un linguaggio di programma a matrice così che tutti i casi possono essere controllati nello stesso tempo. Di solito qualcuno può usare una misura di 0.1 e 10 interazioni dell’algoritmo di Runge-Kutta per completare ciò. Se sono coinvolte più di due fasi di tempo, poi il numero delle interazioni tra ogni paio di fasi temporali potrebbe essere proporzionale alla relativa lunghezza di ogni segmento di tempo. Per esempio, se l’attuale tempo tra le prime due fasi temporali è un anno dal momento che l’attuale lunghezza del segmento di tempo successivo è di 6 mesi, qualcuno potrebbe scegliere di usare 10 interazioni tra le prime due serie di fasi e continuare con 5 interazioni tra le seconde due.
I valori iniziali dei parametri per il modello sono calcolati usando una procedura di randomizzazione (casuale). L’impulso del modello a dati è stato poi calcolato. Questo è fatto con il rispetto di spiegare il cambiamento nella variabile dipendente piuttosto poi la variazione della parte caratteristica nei valori finali della variabile dipendente. A questo punto è necessario cambiare il valore dei valori del parametro inizialmente calcolato al fine di aumentare l’impulso del modello a dati.
Il punto chiave è che siamo capaci di creare la più facile traiettoria non lineare (per i quali non ci sono attuali dati osservati) che collega i valori dei dati attraverso il tempo. Questo è possibile a causa delle doppie variazioni nelle posizioni dei valori dei dati iniziali dai valori finali.

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